一、RLC(串聯(lián))電路的阻抗
如果一個電路由R1、R2、R3組成,那么它的電阻是不是很容易計算?如下圖中的R = R1 + R2 + R3。
圖1-簡單電阻計算
如果一個電路由R、L、C組成,那么它的阻抗是多少?難道也是電阻和阻抗的累加嗎?
圖2-RLC電路阻抗計算
我們知道,當電路中有電感、電容器件時,電路不再表現(xiàn)出純電阻特性,而要用阻抗來描述。
阻抗(Impedance)相比于電阻(Resistance)來說,考慮了兩方面因素:
1.?? 輸入信號的頻率對阻抗的影響;
2.?? 計算電壓U和電流I的相位差異;
純電感的阻抗稱為“感抗”,用符號XL表示;純電容的阻抗稱為“容抗”,用符號XC表示。它們統(tǒng)稱為“電抗”(Reactance)。
理想情況下,電阻消耗能量;電容、電感不消耗能量,只是轉化能量。因為這種本質上的差異,數(shù)學上將電阻與電抗(電容/電感)用正交坐標系的二維坐標來表示,橫坐標表示電阻,縱坐標表示電抗,特別的,正半軸表示電感感抗,負半軸表示電容容抗:
圖3-阻抗坐標系(復數(shù)體系下,橫坐標電阻為實部,縱坐標電容、電感等電抗為虛部)
二維坐標系中,Z(阻抗)可以用復數(shù)表示,包含了模|Z|和角度θ兩個信息。不過工程上,阻抗常指Z的?!獆Z|,上圖中已列舉了計算公式。
角度θ隱含了電壓U和電流I之間的相位信息:
這方面如果容易搞混,可以從源頭去理解,電感的電流不能突變,先變化的是電壓,呈現(xiàn)電感特性(XL>XC)的感性電路亦是如此;電容的電壓不能突變,先變化的是電流,呈現(xiàn)電容特性(XC>XL)的容性電路亦是如此。
二、阻抗計算案例
下圖中,RLC分別為10Ω、100μH、100μF;輸入信號為50Hz,幅度峰值為10V;求電路阻抗、電流有效值?
圖4-阻抗計算案例
XL = 2π*fL = ? ? ?2*3.14*50*100^10-6 = 0.03Ω
XC = 1/(2π*fC) = ? ? ?1/(2*3.14*50*100^10-6) = 31.85Ω
X = XL-XC = -31.82Ω
|Z| = (10^2+31.82^2)^(1/2) = 33.35Ω
Irms = V(s-peak)*0.707/|Z| = 10*0.707/33.35 = 0.212A = 212mA
請注意,通過阻抗算電流或者電壓都是基于RMS(有效值)的,所以幅度峰值10V的電源需要乘以0.707算出有效值。
因為是串聯(lián)電路,所以Irms在所有元器件上一致,我們來分別計算一下電感、電容、電阻上的電壓幅度峰值:
V(L-peak) = V(L-rms) / 0.707 = Irms*XL/0.707 = 0.212*0.03/0.707 = ? ? ?0.01V
V(C-peak) = V(C-rms) / 0.707 = Irms*XC/0.707 = 0.212*31.85/0.707 = ? ? ?9.55V
V(R-peak) = V(R-rms) / 0.707 = Irms*R/0.707 = 0.212*10/0.707 = 3V
可以看到,RLC三者的電壓幅度峰值,如果全部加起來是大于電源電壓的幅度峰值10V的,之所以這樣,因為RLC各自的電壓在相位上有差異,在某個具體的時間點(t)上此消彼長,所以加起來不會大于電源電壓的幅度峰值10V。
我們來看下仿真波形,體會一下各個元器件上電壓的此消彼長:
圖5-阻抗計算案例-電路仿真波形
三、當輸入信號為諧振頻率時會發(fā)生什么?
通過前文講解,看到在計算電路阻抗的時候,會先求出XL(感抗)與XC(容抗)之差,得到電路的X(電抗)大小。
如果XL(感抗)=XC(容抗),那么電路的X(電抗)為0。要到達此目的意味著2π*fL = 1/(2π*fC),求得f = 1/(2π*(LC)^1/2):
圖6-諧振頻率
這個頻率稱為“諧振頻率”(Resonance frequency),是由電路中的L和C決定的。
當輸入信號的頻率與諧振頻率一致時,電路的阻抗表現(xiàn)出純電阻特性,而且|Z|最小。L、C兩個元器件的組合對該頻率的輸入信號而言相當于是短路的。
回到圖4中的案例,我們可以計算得到諧振頻率約為1.592KHz,將其作為電源頻率,看到仿真波形如下:
圖7-諧振頻率-電路仿真波形
可以看到L、C上電壓極性相互,相互抵消,所以L、C的組合相當于是短路的。對比一下圖5,在諧振頻率的情況下,電阻上獲得了最大電壓。
當然這是RLC作為串聯(lián)電路的情況,當RLC作為并聯(lián)電路時,以諧振頻率作為輸入,會發(fā)生什么呢?下面先給出結論,你可以想一下為什么。
圖8-RLC串聯(lián)電路和并聯(lián)電路,發(fā)生諧振頻率時的等效電路(最小和最大阻抗)